乘积规则导数计算器

在线乘积规则导数计算器可帮助您确定由较小可微分函数组成的函数的导数。此计算器使用微分的乘积规则来精确简化您的问题。此内容包含有关乘积规则的整个基本信息。请继续阅读！

什么是乘积规则？

在乘积规则演算中，当两个或多个函数相乘时，我们使用导数的乘法规则。如果我们有两个函数f(x)和g(x)，则乘积规则规定：“ f(x) 乘以 g(x) 的导数加上 g(x) 乘以 f(x) 的导数”

乘积规则公式：

假设我们有两个可微函数f(x)和g(x)。这两个函数的导数乘积规则公式如下：

 

$$\frac{d}{d x} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{d x} g{\left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{d x} f{\left（x \right）}$$

 

除了使用公式进行手动计算外，还可以免费使用在线乘积规则导数计算器来查找两个乘积函数的导数。

如何应用衍生产品规则？

您可以使用基本导数乘法规则简化两个函数的乘积。让我们解决几个例子。

示例#01：

对下列函数wr t x 进行微分。

 

$$h\left（ x \right） = \left（ {6{x^2} - x} \right）\left（ {1 - 30x} \right）$$

 

解决方案：

给定的函数是：

 

$$h\left（ x \right） = \left（ {6{x^2} - x} \right）\left（ {1 - 30x} \right）$$

 

我们知道，乘法导数规则如下：

 

$$\frac{d}{d x} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{d x} g{\left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{d x} f{\left（x \right）}$$

 

这里我们根据公式将函数分开如下：

 

$$f（x） = \left（ {6{x^2} - x} \right）$$

 

$$g（x） = \left（ {1 - 30x} \right）$$

 

现在计算 f(x) 相对于 x 的导数：

 

$$\frac{d}{d x} f（x）$$

 

$$=\frac{d}{d x} \left（6 x^{2} - x\right）$$

 

$$\frac{d}{d x} \left（6 x^{2} - x\right） = \left（12x - 1\right）$$

 

$$\frac{d}{d x} g（x）$$

 

$$=\frac{d}{d x} \left（1 - 30 x\right）$$

 

$$\frac{d}{d x} \left（1 - 30 x\right） = -30$$

（要逐步计算导数，请点击导数计算器）

现在，根据导数的乘法规则：

 

$$\frac{d}{d x} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{d x} g{\left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{d x} f{\left（x \right）}$$

 

将导数代入公式中即可得到最终答案。

 

$$\left（6 x^{2} - x\right） （-30） + \left（1 - 30 x\right） \left（12 x - 1\right）$$

 

$$- 180 x^{2} + 30 x + \left（1 - 30 x\right） \left（12 x - 1\right）$$ 化简后，我们得到：

 

$$- 180 x^{2} + 30 x + （1）（12x） - （1）（-1） -（30x）（12x） + （-30x）（-1）$$

 

$$- 540 x^{2} + 72 x - 1$$

 

因此我们有：

 

$$h\left（ x \right） = \left（ {6{x^2} - x} \right）\left（ {1 - 30x} \right） = - 540 x^{2} + 72 x - 1$$

 

哪个是必需的答案。此外，我们的免费在线乘积规则导数计算器可以更准确、更即时地评估给定的函数。

 

示例#02：

根据乘法规则导数对变量 z 求下列函数的微分。

 

$$（z^2）^{1/3} *（2z-z^2）$$

 

解决方案：

由于乘积规则如下：

 

$$\frac{d}{d x} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{d x} g{\left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{d x} f{\left（x \right）}$$

 

我们分别定义这些功能：

 

$$f（x） = （z^{2}）^{1/3}$$

 

$$g（x） = \left（2z - z^{2}\right）$$

 

对两个函数求导：

 

$$\frac{d}{d z} f（x）$$

 

$$=\frac{d}{d z} \sqrt[3]{z^{2}}$$

 

$$\frac{d}{d z} \sqrt[3]{z^{2}} = \frac{2 \sqrt[3]{z^{2}}}{3 z}$$

 

$$\frac{d}{d z} g（x）$$ $$=\frac{d}{d z} \left（- z^{2} + 2 z\right）$$

 

$$\frac{d}{d z} \left（- z^{2} + 2 z\right） = 2 - 2z$$

 

（要逐步计算导数，请点击导数计算器）

遵循导数的乘积规则：

 

$$\frac{d}{d x} f{\left（x \right）} g{\left（x \right）} = f{\left（x \right）} \frac{d}{d x} g{\left（x \right）} + g{\left（x \right）} \frac{d}{d x} f{\left（x \right）}$$

 

为每个函数的导数赋值并简化：

 

$$\frac{2 \left（5 - 4 z\right） \sqrt[3]{z^{2}}}{3}$$

这就是我们要求的答案。

乘积规则导数计算器如何工作？

要求两个或多个相乘函数的导数，需要遵循以下简单指南：

输入：

• 在方程菜单中输入给定的函数，该菜单支持各种函数，如 log、sqrt、ln、sin、cos 和 tan 等。
• 选择您希望确定给定函数导数的变量。可用变量为 a、b、c、d、x、y、z 或 n。
• 选择不能超过 5 的区分限度。
• 点击“计算”

输出：我们的免费乘积规则导数计算器计算：

• 按照乘积法则对函数进行整体导数。
• 以适当的方式简化您的问题。
• 逐步计算以更好地理解问题结构。

常见问题解答：

指数的乘积规则是什么？

指数的乘积规则规定：“当我们将具有相同底数的指数表达式相乘时，我们将它们的指数相加”

 

$$\left(a^{m}*a^{n}\right)$$ $$=a^{m+n}$$

我们可以将乘积法则应用于 4 个项吗？

是的，你可以这样做。你需要做的就是考虑表达式中每个新函数的导数，并将它们相加得到最终答案。

零的自然对数如何表达？

自然对数(ln)仅对x>0有定义。因此零的自然对数未定义。ln (0) = ∞

log(e) 的导数是什么？

我们知道：

log（e）= 1。

因此，我们有：

dy / dx = 0

原因是我们知道任何常数项的导数始终为零。

结论：

微分乘积法则在微积分和工程科学领域有着广泛的应用。数学家大量使用免费的在线乘积法则导数计算器来在给定点处对复杂函数进行微分。该计算器可帮助同等规模的专业人士和学生快速获得问题的通用解决方案。